Шульман В.С.

МАТЕМАТИКА

 

То что математика занимает особое положение в системе культуры, общепризнано, однако смысл этого утверждения сводится обычно к констатации ее отличия от других наук степенью точности и строгости выводов, а также полезности математической техники в разнообразных областях знания. Хотелось бы отметить и другие ее особенности.

Прежде всего, математика не просто полезна для других наук, но входит в каждую из них как неотъемлемая часть. Фактически, любое строго обоснованное научное положение является математическим утверждением. Более того, утверждение, не получившее строгого доказательства, но эту недоказанность признающее, становится как бы потенциально математическим, подлежащим доказательству или опровержению, требующим прояснения логических основ теории (или ее части). В каком-то смысле, математика вырастает из различных областей знания, вычленяя некие общие присущие этим областям черты. Как число 3 есть то общее, чем обладают множества трех кубиков, трех домов, трех баранов и трех океанов, так и математика есть то общее, что присуще характеру умозаключений биолога, географа, астронома и т.д.

Однако другие науки и виды деятельности — не единственный источник математической стихии. Страсть к математическим рассуждениям является частью природы человека и пронизывает его жизнь, порой оставаясь неосознанной. Недаром Рильке подозревал, что радость, которую доставляет людям музыка, связана с подсознательными вычислениями, так что гармоническое разрешение есть согласие в результатах этих вычислений.

Важно и то, что способность к логическому рассуждению может объединить людей различных убеждений и эмоциональных типов, позволить им договориться, понять друг друга. Так, система аксиом Евклида возникла, в значительной мере, из стремления прекратить тяжбы из-за земельных участков, дать возможность выяснить истину людям, которые признают какие-то общие элементарные положения (этим объясняется и выделение Евклидом циркуля и линейки как основных инструментов геометрии: именно их легко делать из веревок и использовать на поле или огороде). Это лишь один из множества примеров соединения «божественно стройной», абстрактной науки с жизненно необходимой практической деятельностью.

Учиться точно рассуждать, чтобы понимать друг друга — не так ли следует понимать слова Паскаля о том, что правильное мышление есть основа нравственности?

Особую привлекательность математике придает и ее удивительное могущество. В самом деле, как не удивиться тому, что человек, всей жизни которого не хватило бы на то, чтобы вычислить десятичные знаки числа 15¹⁵ , успешно доказывает теоремы, в которых речь идет сразу обо всех натуральных числах, оперирует с бесконечностями разных порядков (из которых натуральный ряд — самая «маленькая»), да еще и извлекает из этой деятельности практические выводы, великолепно работающие в технике. Это «я червь — я Бог» роднит математическое творчество с деятельностью художников и музыкантов.

Гимназическая система образования должна включать стройный и достаточно полный математический блок не только потому, что недопустимо произвольно ограничивать многообразие форм деятельности выпускника одними «гуманитарными» направлениями. Как уже отмечалось, математика пронизывает весь научный спектр и органически связана с деятельностью художников, музыкантов, литераторов, так что отказ от ее изучения повлек бы неестественное и ненужное выхолащивание, обеднение всех представлений ученика о науке и культуре. Наоборот, воспитание гармонически развитой личности требует внимательного и серьезного математического обучения, в результате которого ребенок должен получить представление об основных математических идеях и открытиях античной и классической европейской математики, а также о направлениях развития математики в двадцатом веке.

Не говоря о пользе и важности собственно математического багажа, хотелось бы отметить несколько обстоятельств, придающих математическому образованию особую роль в деле воспитания творчески ориентированной личности. Прежде всего, изучение математики требует упорства и последовательности и не допускает подделок; как бы изобретательно ни пытался увертываться от точных вопросов человек, не изучивший какой-то раздел, ему это не удается. Таким образом, математика учит честности в отношении к труду, учит не бояться трудных препятствий и, что очень важно, — находить радость в их преодолении.

Математика позволяет ученику рано почувствовать вкус открытия. В самом деле, решение задачи (если это не стандартное упражнение) всякий раз «открывает глаза», удивляет человека тем, что ему стало видно и понятно обстоятельство, которое было так близко, но скрыто. В этом ощущении содержатся все элементы взрослых научных открытий (с разницей масштаба), и именно математика здесь обладает наибольшими возможностями, так как не требует сложного оборудования и других затрат.

В решении математических задач, в доказательстве теорем и т.д. важную роль играет ассоциативное мышление, слух к аналогиям, являющийся особым свойством человека, как музыкальный слух. Эту чувствительность к ассоциациям Данте считал важнейшим качеством художника. В математике это также важнейший элемент. Почти вся деятельность математика — это попытки стереть случайные черты, оставив лишь главные, объединяющие внешне разнородные ситуации и проблемы.

В решении математических задач проходит закалку и развитие совокупность общемыслительных приемов, методов познания: индукция, дедукция, обобщение и аналогия. Таким образом, ученик, получивший математический опыт, лучше подготовлен к научной деятельности в других областях знания. Более того, привычка к логическому анализу дает критическую прививку против демагогии и оболванивающей пропаганды, что весьма важно не только для научной деятельности, но и для всей жизни человека.

Разделение на теоретическую и практическую части в курсе математического обучения носит условный характер. Разумеется, последовательность утверждений, составляющих определенный раздел математики, является достаточно однозначной и жесткой конструкцией. Она излагается в объяснениях учителя и в параграфах учебника и должна усваиваться учеником в завершенном виде. Система «практических» упражнений, выполняемых учеником, нацелена на прочное усвоение теории и на прояснение связей теории с другими дисциплинами (которые, собственно, и составляют «приложения» математики). В то же время, наиболее содержательные из этих упражнений принципиально не отличаются по своему характеру от теорем теоретического цикла: в них вводятся полезные определения и обозначения, доказываются вспомогательные утверждения и т.д. Таким образом, практическая и теоретическая части предмета объединены самой сущностью математической деятельности, ее творческим характером.

Это единство должно постоянно подчеркиваться в процессе обучения. «Какая теорема лежит в основе найденного тобой решения задачи?». «Какова идея доказательства примененной тобой теоремы?». «Хорошо, что ты помнишь алгоритм деления «уголком». Но откуда он берется?». К таким вопросам ребят нужно приучать с первых же шагов в математике. Они создают «динамическое равновесие» между теорией и практикой математического обучения, вносят в это обучение единую гармонию, изгоняя из него зубрежку, запоминание без понимания.

Изложение математики невозможно без строгой последовательности определений и результатов, поэтому обучение математике в гимназии выстраивается по логической канве. В эту канву, однако, вплетаются соображения, связанные с возрастной подготовленностью ребенка к восприятию того или иного понятия, что сильно отклоняет продвижение от прямолинейности. Фактически, в процессе обучения по нескольку раз рассматриваются многие темы (дроби и рациональные числа, квадратные уравнения и квадратный трехчлен, возведение в степень, показательная и степенная функции, алгебраические преобразования, векторы, геометрические преобразования, графики функций). Вынужденная цикличность оказывается неожиданно плодотворной. Прежде всего, она индуцирует рассредоточенное во времени повторение фундаментальных понятий и результатов, что значительно эффективнее компактного повторения. Если же каждый момент возврата к теме сопровождать сравнительным анализом подходов (настоящего и предшествующих), то это даст ученику возможность оценивать силу новых методов и сделает его представления о структуре этой области математики и ее связях с другими темами более полными.

Примером темы, в которой логическое построение входит в противоречие с возрастной подготовленностью учащихся, является аксиоматика планиметрии. Общеизвестно, что в основе геометрии лежат аксиомы Евклида, и требование логической безупречности традиционно приводит авторов учебников к строгой аксиоматической схеме. В результате, большинство учеников с ужасом внимает сложным доказательствам очевидных вещей на непонятном (возможно, древнегреческом) языке, получая психологическую травму вместо интересной и живой науки. Гораздо лучший результат дает апелляция к интуитивным представлениям об основных геометрических понятиях, легко выводящая на удовлетворительный уровень строгости в содержательной части курса, после которой можно вернуться к началу для логической ревизии. Здесь ученики уже будут союзниками учителя в работе по подведению фундамента под построенное здание.

Изложение математических идей желательно сопровождать изложением обстоятельств их возникновения и влияния на развитие науки. Такие экскурсы в историю науки позволяют лучше представить себе основное содержание соответствующих понятий, дают необходимые дополнения к складывающейся у учеников общей картине истории определенного периода и, что немаловажно, уточняют их представления о характере математического творчества. Полезно знать, что Архимед считал своим главным достижением нахождение площадей, ограниченных параболами (сейчас любой ученик одиннадцатого класса сделает это за несколько секунд), что теорему о единственности разложения на простые множители математики не только не могли доказать, но не могли и сформулировать как проблему, вплоть до конца 18‑го века (когда это сделал Гаусс), или что Ньютон в течение 20 лет после открытия закона всемирного тяготения не знал, что однородный шар притягивает, как точка.

Полезно напоминать, как только представляется случай, о достижениях античных математиков. Это позволит ученику правильнее оценить свой культурный и интеллектуальный багаж, в сравнении с тем, что умели делать люди, отделенные от нас тысячелетиями. Ребенку свойственно некоторое подсознательное пренебрежение к ушедшим поколениям: сам он ощущает себя бессмертным, да и, кроме того, понимает, что его жизнь очень не похожа на жизнь наших далеких предков. Поэтому сильное и благотворное впечатление на него производит неожиданное понимание того, что никакие компьютеры и видеомагнитофоны не помогут ему решить простую с виду задачу, поставленную и решенную в незапамятные времена. В то же время, полезно подчеркивать и обсуждать принципиальные ограничения математических достижений античных ученых, разбираться в их причинах; это позволит правильнее оценить революционный характер математики Декарта, Ньютона, Лейбница, Паскаля.

При разработке конкретной стратегии математического образования важно правильно представлять и учитывать характер взаимодействия математики с другими учебными дисциплинами; прежде всего — физикой, химией и астрономией. Здесь стоит выделить несколько аспектов.

Прежде всего, существенна необходимость определенной математической подготовки для восприятия любого раздела любой из естественных наук. Обычно в курсе математики не удается ускорить, например, изучение дифференциального и интегрального исчисления в такой степени, чтобы физики, приступая к изучению механики или электростатики, могли пользоваться его понятиями и результатами. Здесь полезны пропедевтические лекции, ориентированные на конкретные приложения. Строгие доказательства в таких лекциях обычно отсутствуют, но тем не менее, они не сводятся к перечислению стандартных определений и формул. Более, чем где-нибудь, в них необходим концептуальный подход, мотивировка структуры предмета, анализ системы закономерностей. Технику можно на начальном этапе и не форсировать, поскольку именно на это уходит наибольшее количество времени. Конечно, хорошо, если до вычисления потенциала электрического поля ученик будет иметь опыт интегрирования рациональных функций. Но если такого опыта не будет, его можно получить «на физическом уровне». Важнее — понимать, как связаны работа и интеграл, напряженность и потенциал, площадь и первообразная. Точно так же, при изучении гармонических колебаний не обязательно уметь решать дифференциальные уравнения; важнее — осознавать их смысл, определенность решений начальными условиями и т.д.

С другой стороны, естественнонаучные приложения могут играть полезную роль в повышении эффективности чисто математического образования, если учитель приложит усилия для разрушения психологического барьера, препятствующего, на ранней стадии обучения, соединению разных наук в единый комплекс. Приложения, прежде всего, проясняют значения многих математических понятий и результатов. Даже профессиональные математики порой лишь через физические приложения способны входить в новые для себя математические направления (классический пример — теория представлений групп, более современный — гомологическая алгебра). В курсе элементарной математики физический «аккомпанемент» полезен для понимания таких объектов, как векторы, координаты, функции, производная, интеграл, системы уравнений, экстремальные задачи. И, наконец, наличие внематематических приложений повышает авторитет математики в глазах учеников, стимулируя ее изучение.

В обязанности учителя входит (и занимает одно из центральных мест) задача выработки у ученика отношения к математике как к живому и доступному предмету, созданному для удовлетворения насущных потребностей человеческого общества и в силу присущей людям жажды познания. Одной из наиболее частых причин страха детей (да и взрослых) перед математикой является важность, с которой детям преподносятся основы математических теорий: аксиомы и определения. Для борьбы с этим эффектом следует все определения мотивировать и обсуждать их варианты, пробовать вместе с учениками предлагать другие системы аксиом. Тем самым подчеркивается рукотворность науки, что лишь поможет ученикам оценить ее достоинства. Вообще, рассмотрение всех альтернатив — наиболее приемлемое средство в случаях каких бы то ни было затруднений в понимании темы или раздела. Часто, например, ученик становится в тупик, сталкиваясь в уравнении с выражениями вида x^y: подразумевается ли, что х положительно? Обычно учителя говорят: «Мы не рассматриваем функцию а^y при а < 0». Но этот аргумент не вполне убедителен. Гораздо лучше — обсудить, что получится, если ограничений не делать. Чего бы мы добились и что потеряли бы? После такого обсуждения мы сами решим, какой смысл будем вкладывать. Это покажет ученикам, что математика создана не для того, чтобы ловить друг друга на незнании определений, а для работы и радос-ти творчества.

Однако легкость отношения к определениям и аксиомам должна носить предварительный характер. Да, мы могли принять другое определение, но выбрали это. Теперь оно для нас закон, только так нужно понимать этот термин (аксиому, конструкцию) до тех пор, пока новые задачи не заставят нас снова взглянуть на него критически.

Прекрасные возможности для «очеловечивания» образа математики в глазах детей дают математические игры. В процессе игры ребенком без всякого сопротивления воспринимаются глубокие идеи: симметрия, индукция, связность, биективное соответствие, эквивалентность, сравнения. Игры следует использовать с первых шагов обучения — как для усвоения материала, так и просто для психологической разгрузки на уроке.

Вообще, представляется плодотворным (и согласованным с общей установкой системы гимназического обучения на воспитание творчески ориентированной личности) постоянное стремление к разнообразию форм обучения математике. Так, введение нового материала может, кроме традиционного последовательного изложения готовой конструкции, начинаться с системы предварительных задач, подводящих учеников к нужным идеям или понятиям. Полезно иногда предложить ученикам догадаться до правильного ответа в уже поставленном вопросе («мы сегодня обнаружим, что между длинами сторон прямоугольного треугольника есть связь; как вы думаете — какая?») — и лишь затем начинать последовательное объяснение. Независимо от того, удастся ли ученикам угадать ответ, это значительно увеличит их интерес к изложению материала. Хороший эффект дают подчеркивание глубины и неожиданности какой-то идеи в доказательстве теоремы, обсуждение возможных искажений в интерпретации результата, выявление аналогий с ранее рассматривавшимися конструкциями. Сравнительные характеристики нескольких разделов, выявление различий и сходства в доказательствах, работа по систематизации идей должны занимать значительную часть общего учебного времени. В этой форме также скрыты возможности регулярного повторения материала. Сильным средством эмоционального окрашивания материала (способствующем его прочному усвоению) могут служить исторические комментарии. Полезно также обнаруживать связи между различными разделами математики, рассматривая их применение в одних и тех же задачах (так, очень многие геометрические задачи удобно решать, применяя подобие, координатный метод и векторную алгебру; разумно после нескольких примеров обсудить с учениками причины такого эффекта). Активизации деятельности учащегося способствуют все отклонения от стандартных форм обучения, все необычные задания: «придумай задачу», «найди ошибку в рассуждении». Стоит также попросить каждого из учеников написать условие задачи, которая когда-то произвела на него наиболее сильное впечатление; если даже ученик не имел особенно сильных математических впечатлений, после такого вопроса он будет смотреть на задачи более заинтересованно.

Следует всячески рекомендовать учителю при завершении изучения какого-либо раздела составлять схематический план его структуры, в котором те или иные элементы (понятия, утверждения) соединены стрелами, выражающими логическую зависимость между ними.

Повышению заинтересованности учеников математикой должны способствовать и внеучебные мероприятия: математический кружок(который может периодически собираться в расширенном составе — всем классом — для обсуждения конкретных тем, названия которых должны заранее сообщаться классу), разного рода соревнования (олимпиады, «математические бои», вечера математических игр), лекции математиков-профессионалов о новых направлениях в математике, специальные (возможно, короткие — в несколько лекций) курсы по темам, выходящим за рамки программы, беседы о жизни и творчестве замечательных математиков (Галуа, Софья Ковалевская, Ньютон и Лейбниц, Архимед и Пифагор), о наиболее драматических страницах истории математики (история пятого постулата и создание неевклидовой геометрии, история возникновения теории множеств), специальные обсуждения связей математики с живописью, музыкой и литературой (здесь многое может сделать математическая газета) и др.

 

Содержание предмета (на уровне разделов).

 

I. Арифметика (1 — 6 классы).

Здесь изучаются натуральные числа, отношение порядка, арифметические действия с натуральными числами, применения к счету и измерению реальных объектов, обыкновенные и десятичные дроби. В 6‑м классе рассматривается делимость натуральных чисел, вводятся основные понятия теории делимости и формулируются (без доказательства) ее основные положения, определяется абсолютная величина числа, понятие рационального числа, решаются линейные уравнения и вводится понятие координат точки на плоскости.

 

II. Алгебра (7 — 11 классы).

В седьмом классе рассматриваются алгебраические выражения и их преобразования, действия над многочленами, вводится понятие функции и ее графика, изучаются линейные функции и функция y=x², методы решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными (аналитические и графический), рассматриваются основные принципы комбинаторики.

В восьмом классе поле рациональных чисел расширяется до поля действительных чисел, в связи с задачей извлечения квадратного корня. Устанавливается формула корней квадратного уравнения и теорема Виета, рассматриваются уравнения, приводимые к квадратным. Далее изучаются числовые неравенства, решение неравенств с одной переменной, исследуются такие понятия, как монотонность функции и интервалы знакопостоянства. Изучается степень с целым показателем и стандартное представление действительных чисел, Рассмотрение на доказательном уровне вопросов делимости.

В девятом классе развитый аппарат применяется для изучения квадратного трехчлена и решения квадратных неравенств, решения уравнений и систем уравнений с квадратными функциями, а также с неизвестными под знаком модуля. Вводятся корни произвольной степени (здесь же уместно впервые обсудить вопрос о нахождении неизвестных показателей и ввести термин «логарифм»), затем степень с рациональным показателем. Рассматриваются арифметическая и геометрическая прогрессии (формула общего члена и суммы). Обсуждаются вопросы разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, комплексные числа. Вводятся тригонометрические функции произвольного аргумента (для острых углов они уже были к этому времени введены в геометрии), доказываются основные соотношения между тригонометрическими функциями. Здесь следует впервые заговорить об арксинусе, арккосинусе и арктангенсе, в связи с решением уравнений.

В десятом классе изучаются основные свойства тригонометрических функций, на основании чего решается вопрос о существовании их обратных. Далее рассматривается решение тригонометрических уравнений и неравенств и исследуются обратные тригонометрические функции. Вводится показательная функция, исследуются ее свойства, доказывается существование обратной функции. Изучаются свойства логарифмической функции, решаются логарифмические и показательные уравнения, а также системы таких уравнений.

В одиннадцатом классе обсуждаются вопросы непрерывности и предельного перехода, вычисления пределов. Затем вводится понятие производной, находятся производные основных элементарных функций. Рассматриваются применения производной к исследованию функций в геометрии и физике. Вводится понятие первообразной, обсуждаются ее свойства, рассматриваются важнейшие примеры вычисления первообразных. После рассмотрения ряда физических и геометрических задач определяется определенный интеграл и доказывается теорема Ньютона — Лейбница, связывающая понятия интеграла и первообразной.

 

III. Геометрия (7 — 11 классы).

В седьмом классе вводятся основные объекты планиметрии (прямая, точка, луч, угол, длина, равенство фигур), доказываются признаки равенства треугольников, обсуждается аксиома параллельности и ее следствия, соотношения между сторонами и углами треугольника. Затем более подробно обсуждаются аксиомы планиметрии.

В восьмом классе вводится подобие фигур, доказываются признаки подобия треугольников, рассматриваются параллелограмм и трапеция, вводится понятие площади многоугольника, устанавливаются формулы площади треугольника, параллелограмма и трапеции. Доказывается теорема Пифагора. Определяется понятие вектора, вводятся линейные операции над векторами и рассматриваются применения к решению геометрических задач.

В девятом классе развивается координатный подход к геометрическим объектам, вводятся тригонометрические функции угла треугольника, изучаются геометрические преобразования, определяется, исследуется и применяется для решения задач скалярное произведение векторов, вычисляется длина окружности и площадь круга. Рассматриваются вопросы разрешимости задач на построение.

В десятом классе начинается изучение пространственных фигур. Вводятся основные понятия и аксиомы стереометрии, обсуждается взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, вводятся углы между скрещивающимися прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью. Рассматриваются координатный и векторный подходы к решению стереометрических задач, рассматриваются многогранники и их сечения плоскостями.

В одиннадцатом классе рассматриваются объемы многогранников, конических, цилиндрических и сферических фигур, площади поверхности конуса, цилиндра, шара, классификация правильных многогранников, движение пространства.

Система математического образования в гимназии подкрепляется работой с детьми на дошкольном отделении. Здесь с трехлетнего возраста ребята начинают изучать два предмета: математику и конструирование.

Приступая к изучению математики в дошкольном возрасте, дети знакомятся с образно представленным составом числа, с единицами и десятками по таблицам Зайцева, имея наглядную опору. К концу дошкольного периода дети хорошо ориентируются в числовом порядке в пределах сотни, выполняют действия сложения, вычитания, сравнения чисел в пределах 20 уже без опоры на наглядность.

Конструирование ведется специалистом с базовым образованием (математиком, конструктором). В процессе работы с детьми решаются следующие задачи:

 — развитие пространственного мышления в сенситивном периоде его становления, на стадии доминирования наглядно-образной формы мышления;

 — формирование системы доступных ребенку понятий из области элементарной геометрии (планиметрии, стереометрии), начертательной геометрии; подготовка детей к изучению научной системы геометрических понятий в школьном возрасте;

 — формирование начальных навыков и умений в области конструирования; дети работают с эскизами, чертежами;

 — формирование эстетического восприятия окружающего пространства (форм, отношений); вводятся элементарные понятия художественного конструирования (дизайна) — композиция, ансамбль, пропорциональность, симметричность-асимметричность и т.д.

Еще раз сформулируем в кратком виде те детали настоящей концепции, которые отличают ее от ныне действующих педагогических установок математических программ:

1. Повышенное внимание к архитектуре предмета: иерархии разделов, их взаимосвязям, логическому построению каждого из предметов.

2. Цикличность, многократное возвращение к каждой из основных тем курса, использование рассредоточенного повторения для развития помимо чисто интеллектуального, также и эмоционального, подсознательного восприятия математических понятий, принципов и закономерностей.

3. Введение нетрадиционных форм и методов обучения.

4. Соединение повсеместно изучаемых разделов с нетрадиционными(делимость, комбинаторика, разрешимость алгебраических уравнений и геометрических задач, комплексные числа).

5. Более подробное, по сравнению с обычными программами, освещение вопросов истории математики и ее связей с другими науками.

6. Стремление к уравниванию в глазах учеников природы математического творчества с творчеством в области искусства и философии.